Nghịch lý Bertrand

Nghịch lý Bertrand là một bài toán cổ điển trong lý thuyết xác suất, được đặt tên theo nhà toán học Joseph Bertrand, người đã giới thiệu nó trong cuốn sách "Calcul des probabilités" vào năm 1889. Nghịch lý này nảy sinh từ việc áp dụng nguyên tắc "đồng khả năng" để tính xác suất trong một tình huống có vẻ đơn giản nhưng lại dẫn đến nhiều kết quả khác nhau tùy thuộc vào cách tiếp cận.

Các cách tiếp cận và kết quả khác nhau:

Bertrand đưa ra ba cách tiếp cận khác nhau để giải bài toán này, mỗi cách dẫn đến một kết quả khác nhau:

1. Cách tiếp cận dựa trên điểm cuối của dây cung:

   

   Chọn ngẫu nhiên một điểm trên đường tròn. Dây cung đi qua điểm này sẽ dài hơn cạnh của tam giác đều nếu và chỉ nếu điểm cuối còn lại của dây cung nằm trên cung có độ dài bằng 1/3 chu vi đường tròn. Xác suất này là 1/3.

2. Cách tiếp cận dựa trên điểm giữa của dây cung:

   

   Chọn ngẫu nhiên một điểm bên trong hình tròn. Dây cung có điểm giữa là điểm này sẽ dài hơn cạnh của tam giác đều nếu và chỉ nếu điểm này nằm bên trong hình tròn đồng tâm có bán kính bằng một nửa bán kính hình tròn ban đầu. Xác suất này là 1/4.

3. Cách tiếp cận dựa trên hướng của dây cung:

   

   Chọn ngẫu nhiên một bán kính của hình tròn. Dây cung vuông góc với bán kính này sẽ dài hơn cạnh của tam giác đều nếu và chỉ nếu khoảng cách từ tâm hình tròn đến dây cung nhỏ hơn một nửa bán kính. Xác suất này là 1/2.

Giả lập

Trong giả lập này, ta chọn 2 điểm ngẫu nhiên trên đường trong và nối thành 1 dây cung. Sau đó, ta tính tỷ lệ số dây cung dài hơn cạnh tam giác đều nội tiếp đường tròn. Ta thấy rằng, tỷ lệ này tiến dần về 1/3 (0.33). (Bấm Play để xem)

Nghịch lý và giải thích:

Nghịch lý Bertrand nảy sinh do ba cách tiếp cận trên, mặc dù có vẻ hợp lý, lại dẫn đến ba kết quả khác nhau cho cùng một bài toán. Điều này cho thấy rằng nguyên tắc "đồng khả năng" không đủ để xác định duy nhất một phân phối xác suất trong một số tình huống.

Để giải quyết nghịch lý này, cần phải xác định rõ ràng không gian mẫu và cách chọn ngẫu nhiên một dây cung. Mỗi cách tiếp cận trên tương ứng với một cách chọn ngẫu nhiên khác nhau, dẫn đến các phân phối xác suất khác nhau và do đó các kết quả khác nhau. Không có một câu trả lời "đúng" duy nhất cho bài toán này, mà câu trả lời phụ thuộc vào cách chúng ta định nghĩa "chọn ngẫu nhiên một dây cung".

Ý nghĩa:

Nghịch lý Bertrand là một ví dụ quan trọng cho thấy sự cần thiết phải cẩn thận khi áp dụng các khái niệm xác suất, đặc biệt là trong các tình huống có vẻ đơn giản. Nó cũng nhấn mạnh tầm quan trọng của việc xác định rõ ràng không gian mẫu và cách chọn ngẫu nhiên các phần tử trong không gian mẫu đó.